В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки и ,
а на окружности другого основания точки и , причём образующая цилиндра, а отрезок пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол прямой.
б) Найдите расстояние от точки до прямой , если , , .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим через O центр основания, содержащего A и B, а через C — проекцию C₁ на плоскость этого основания.
При ортогональном проектировании отрезка AC₁ получаем отрезок AC, а точка пересечения AC₁ с осью проектируется в O. Поэтому O лежит на AC. Так как OA = OC — радиусы, AC является диаметром.
Вписанный угол ABC опирается на диаметр, поэтому AB ⟂ BC. Кроме того, AB ⟂ CC₁, поскольку образующая CC₁ перпендикулярна плоскости основания.
Прямые BC и CC₁ пересекаются и лежат в плоскости BCC₁. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости AB ⟂ (BCC₁), следовательно, AB ⟂ BC₁.
Ответ: угол ABC₁ равен 90°.
б) Четырёхугольник BB₁C₁C — прямоугольник, поэтому BC = B₁C₁ = 16, CC₁ = BB₁ = 12.
По теореме Пифагора BC₁ = √(16² + 12²) = 20.
Треугольник ABC₁ прямоугольный по пункту а), поэтому AC₁ = √(21² + 20²) = 29.
Пусть BH — перпендикуляр к прямой AC₁. Выражая площадь треугольника ABC₁ двумя способами, получаем AB · BC₁/2 = AC₁ · BH/2.
Следовательно, искомое расстояние BH = 21 · 20/29 = 420/29.
Ответ: 420/29.