Из правильной несократимой дроби , где и натуральные числа, за один ход получают дробь .
а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби получить дробь ?
б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь ?
в) Несократимая дробь больше 0,7. Найдите наименьшую дробь которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Последовательно применяем указанное правило:
1/3 → 4/5 → 9/13 → 22/31.
Таким образом, нужная дробь получается за три хода.
Ответ: да.
б) После двух ходов из a/b получается дробь (3a + 2b)/(4a + 3b).
Поскольку a и b положительны, имеем 3(3a + 2b) − 2(4a + 3b) = a > 0. Поэтому любая дробь после двух ходов больше 2/3.
Но 7/12 < 2/3, так как 21 < 24. Следовательно, получить её за два хода невозможно.
Ответ: нет.
в) Для правильной исходной дроби 0 < a < b. Сравним результат двух ходов с 5/7:
5(4a + 3b) − 7(3a + 2b) = b − a > 0.
Значит, результат всегда меньше 5/7, и саму дробь 5/7 получить за два хода нельзя. При этом 5/7 > 7/10, поскольку 50 > 49.
Докажем, что любую несократимую дробь c/d между 7/10 и 5/7 получить можно. Положим a = 3c − 2d, b = 3d − 4c.
Из c/d > 7/10 следует a > d/10 > 0. Из c/d < 5/7 следует b − a = 5d − 7c > 0. Таким образом, a и b — натуральные числа и a < b.
Кроме того, 3a + 2b = c и 4a + 3b = d. Любой общий делитель a и b делил бы c и d, поэтому дробь a/b несократима.
Один ход сохраняет несократимость: общий делитель a + b и 2a + b делит их разность a, а затем и b. Поэтому из построенной правильной несократимой дроби a/b за два хода действительно получается c/d.
Все дроби между 0,7 и 5/7 достижимы, а 5/7 недостижима. Следовательно, это и есть искомая наименьшая дробь.
Ответ: 5/7.