В ящике лежит 87 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 94 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 127 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 9 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Обозначим через a число фруктов легче 100 г, через b — тяжелее 100 г, через c — массой ровно 100 г. Поскольку массы различаются, а средняя равна 100 г, обе группы с массами меньше и больше 100 г непусты.
Общая масса равна 8700 г, поэтому 94a + 127b + 100c = 8700. Также a + b + c = 87. Вычитая второе равенство, умноженное на 100, получаем 6a = 27b, то есть 2a = 9b.
Так как 2 и 9 взаимно просты, a = 9k, b = 2k, где k — положительное целое число. Тогда c = 87 − 11k ≥ 0, откуда 1 ≤ k ≤ 7.
а) Числа a = 9k и b = 2k при k ≥ 1 различны. Следовательно, фруктов легче 100 г и тяжелее 100 г не может быть поровну. Ответ: нет.
б) Из k ≤ 7 следует c = 87 − 11k ≥ 87 − 77 = 10. Поэтому фруктов массой 100 г не может быть меньше 9. Ответ: нет.
в) Самый тяжёлый фрукт принадлежит группе фруктов тяжелее 100 г. Пусть его масса равна M г. В этой группе b = 2k ≤ 14 фруктов, а их общая масса равна 127b г.
Масса каждого из остальных b − 1 фруктов этой группы — целое число больше 100, поэтому она не меньше 101 г. Следовательно, M ≤ 127b − 101(b − 1) = 26b + 101 ≤ 26 · 14 + 101 = 465 г.
Построим пример: 63 фрукта по 94 г, 10 фруктов по 100 г, 13 фруктов по 101 г и один фрукт массой 465 г. Всего 63 + 10 + 13 + 1 = 87 фруктов.
Средняя масса лёгких фруктов равна 94 г; средняя масса тяжёлых равна (13 · 101 + 465)/14 = 1778/14 = 127 г.
Общая масса составляет 63 · 94 + 10 · 100 + 1778 = 8700 г, поэтому средняя масса всех фруктов равна 100 г. Все условия выполнены, оценка достигается. Ответ: 465 г.