С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 151?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 600 включительно?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Пусть трёхзначное число равно 100a + 10b + c, где a — цифра сотен, b — цифра десятков, c — цифра единиц.
Результат операции равен (100a + 10b + c − a − b − c)/3 = 33a + 3b = 3(11a + b).
а) Возьмём число 910. Сумма его цифр равна 10, поэтому (910 − 10)/3 = 300.
Ответ: да.
б) Результат операции всегда кратен 3. Число 151 не делится на 3, поскольку сумма его цифр равна 7.
Ответ: нет.
в) Для чисел от 100 до 599 цифра a принимает значения от 1 до 5, а цифра b — от 0 до 9. Цифра c на результат не влияет.
При каждом фиксированном a получаем 10 различных результатов: 33a, 33a + 3, …, 33a + 27.
Эти группы не пересекаются: наименьшее значение следующей группы равно 33a + 33 и больше наибольшего значения предыдущей группы 33a + 27.
Таким образом, числа от 100 до 599 дают 5 · 10 = 50 различных результатов.
Для числа 600 результат равен (600 − 6)/3 = 198. Он больше всех предыдущих результатов, поскольку их максимум равен 33 · 5 + 3 · 9 = 192.
Всего получается 50 + 1 = 51 различное число.
Ответ: 51.