Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй 102, в третьей 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй 102, в третьей 103, а в четвёртой 4?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
При каждом ходе число камней в выбранной коробке увеличивается на 3, а в каждой из остальных уменьшается на 1. Всего остаётся 306 камней.
а) Последовательно выберем для получения камней четвёртую, вторую, третью и четвёртую коробки:
(101, 102, 103, 0) → (100, 101, 102, 3) → (99, 104, 101, 2) → (98, 103, 104, 1) → (97, 102, 103, 4).
Перед каждым ходом во всех трёх коробках, из которых берут камни, есть камни, поэтому все ходы допустимы. Ответ: да.
б) За ход разность количеств камней в любых двух коробках либо не меняется, либо изменяется на 4. Следовательно, её остаток при делении на 4 сохраняется.
Изначально разность количеств камней во второй и третьей коробках равна −1. Если в четвёртой коробке будет 306 камней, остальные окажутся пустыми и эта разность станет равной 0. Это невозможно, поскольку 0 − (−1) = 1 не делится на 4. Ответ: нет.
в) Обозначим количества камней во второй, третьей и четвёртой коробках через b, c, d. По доказанному b − d имеет остаток 2 при делении на 4, а c − d — остаток 3.
Докажем, что b + c + d ≥ 3. При d ≥ 3 это очевидно. Если d = 0, то b ≥ 2 и c ≥ 3; если d = 1, то b ≥ 3; если d = 2, то c ≥ 1. Во всех случаях сумма не меньше 3.
Поэтому в первой коробке не больше 306 − 3 = 303 камней. Покажем, что эта оценка достигается.
Выполним блок из четырёх ходов: один раз направим камни в четвёртую коробку, затем три раза — в первую. Блок изменяет количества камней на (+8, −4, −4, 0).
Повторим блок 25 раз. Получим (301, 2, 3, 0). Все блоки допустимы: перед последним из них во второй и третьей коробках ещё 6 и 7 камней, а первый ход каждого блока даёт четвёртой коробке 3 камня для следующих трёх ходов.
Теперь направим камни в четвёртую коробку, затем в первую: (301, 2, 3, 0) → (300, 1, 2, 3) → (303, 0, 1, 2). Оба хода допустимы. Ответ: 303.