На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых
равна 5120.
а) Может ли оказаться, что на доске написано число 230?
б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 14?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, может быть на доске?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Наименьшая сумма 100 различных натуральных чисел равна 1 + 2 + … + 100 = 100 · 101/2 = 5050.
а) Если на доске есть число 230, то сумма остальных 99 различных натуральных чисел не меньше 1 + 2 + … + 99 = 4950.
Тогда общая сумма не меньше 4950 + 230 = 5180, что больше 5120. Это невозможно.
Ответ: нет.
б) Если числа 14 нет, то наименьшие 100 допустимых чисел — это числа от 1 до 101, кроме 14.
Их сумма равна 101 · 102/2 − 14 = 5137. Она больше 5120, поэтому отсутствие числа 14 невозможно.
Ответ: нет.
в) Среди чисел от 1 до 100 имеется семь чисел, кратных 14: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98.
Предположим, что на доске не более трёх чисел, кратных 14. Тогда как минимум четыре числа из этого списка отсутствуют. Выберем четыре таких числа.
Их сумма не больше суммы четырёх наибольших: 56 + 70 + 84 + 98 = 308.
Наименьшая сумма 100 различных натуральных чисел, не содержащих выбранных четырёх чисел, получается из набора 1, 2, …, 100 заменой этих чисел на 101, 102, 103, 104.
Поэтому сумма чисел на доске не меньше 5050 − 308 + 101 + 102 + 103 + 104 = 5152. Это больше 5120. Следовательно, чисел, кратных 14, должно быть хотя бы четыре.
Построим пример: из набора 1, 2, …, 100 удалим 70, 84, 98 и добавим 101, 102, 119.
Получатся 100 различных натуральных чисел с суммой 5050 − 70 − 84 − 98 + 101 + 102 + 119 = 5120.
Добавленные числа не кратны 14, поэтому кратными 14 остаются ровно четыре числа: 14, 28, 42, 56. Оценка достигается.
Ответ: 4.