В правильной треугольной призме известно, что Плоскость проходит через вершины и и середину ребра
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью является равнобедренным треугольником.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью равна
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим высоту призмы AA₁ через h. Плоскость α пересекает боковые грани по отрезкам A₁B, BM и MA₁, а основания — только в вершинах A₁ и B. Поэтому сечение — треугольник A₁BM.
В правильной призме боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а основания — равносторонние треугольники со стороной 2.
Прямоугольные треугольники BCM и A₁C₁M равны по двум катетам: BC = A₁C₁ = 2, CM = C₁M = h/2.
Следовательно, BM = A₁M, то есть сечение является равнобедренным треугольником.
Ответ: а) сечение A₁BM равнобедренное, A₁M = BM.
б) По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках BCM и AA₁B получаем BM² = 4 + h²/4 и A₁B² = 4 + h².
Пусть N — середина A₁B. Медиана MN равнобедренного треугольника A₁BM является его высотой.
Из прямоугольного треугольника BMN: MN² = BM² − BN² = 4 + h²/4 − (4 + h²)/4 = 3.
Значит, MN = √3, и площадь сечения равна A₁B · MN/2 = √(4 + h²) · √3/2.
По условию √(4 + h²) · √3/2 = 6. Отсюда 3(4 + h²) = 144, h² = 44. Так как h > 0, получаем h = 2√11.
Ответ: б) 2√11.