В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены
точки и соответственно, причём . Плоскость содержит прямую и параллельна прямой .
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой .
б) Найдите угол между плоскостями и .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Через N проведём прямую, параллельную BC; пусть она пересекает AC в точке P. Эта прямая лежит в α: через точку плоскости проходит единственная прямая, параллельная заданной прямой, параллельной этой плоскости.
В треугольнике DCB имеем NP ∥ BC, поэтому удобнее использовать треугольник DCA: NP ∥ DA, так как BC ∥ DA. По теореме о пропорциональных отрезках CP/CA = CN/CD = 3/4.
По условию CK/CS = 3/4. Следовательно, в треугольнике CSA по обратной теореме о пропорциональных отрезках KP ∥ SA.
Прямая KP лежит в α. При этом α пересекает плоскость основания по NP, а A не принадлежит NP, поэтому A не принадлежит α и SA не лежит в α. По признаку параллельности прямой и плоскости SA ∥ α.
Ответ: SA ∥ α.
б) Вычисление угла.
Введём прямоугольные координаты: A(0; 0; 0), B(4; 0; 0), C(4; 4; 0), D(0; 4; 0), S(2; 2; h).
Основание высоты правильной пирамиды — центр квадрата O, причём AO² = 2² + 2² = 8. По теореме Пифагора h² = SA² − AO² = 49 − 8 = 41, то есть h = √41.
Из отношений деления рёбер получаем N(1; 4; 0), K(5/2; 5/2; 3h/4). Поэтому вектор NK имеет координаты (3/2; −3/2; 3h/4).
Вектор n₁ = (h; 0; −2) перпендикулярен BC и NK: его скалярные произведения с (0; 4; 0) и (3/2; −3/2; 3h/4) равны нулю. Значит, n₁ — нормаль к α.
Вектор n₂ = (h; 0; 2) перпендикулярен BC и BS = (−2; 2; h), поскольку соответствующие скалярные произведения равны нулю. Значит, n₂ — нормаль к плоскости SBC.
Угол φ между плоскостями равен острому углу между их нормалями. Поэтому cos φ = |n₁ · n₂|/(|n₁| · |n₂|) = |h² − 4|/(h² + 4) = 37/45.
Ответ: arccos(37/45).