На рёбрах и правильного тетраэдра отмечены точки и соответственно. Известно, что
а) Докажите, что плоскость проходящая через точки делит ребро в отношении считая от вершины
б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) В треугольнике ABD имеем AM/AB = AN/AD = 1/3. По обратной теореме Фалеса MN ∥ BD и MN = BD/3.
В грани BCD через L проведём прямую, параллельную BD, и обозначим её пересечение с CD через K. По подобию треугольников CLK и CBD получаем CK/CD = CL/CB = 2/3, поэтому CK : KD = 2 : 1.
Докажем, что K принадлежит плоскости α. Прямая LK параллельна MN, лежащей в α, и проходит через точку L этой плоскости. Следовательно, LK лежит в α, а значит, K принадлежит α. Таким образом, α пересекает CD именно в точке K.
Ответ к а): CK : KD = 2 : 1, что и требовалось доказать.
б) Сечение — четырёхугольник MLKN: его стороны лежат в гранях ABC, BCD, ACD и ABD соответственно. Поскольку MN ∥ LK, это трапеция. При ребре тетраэдра 6 получаем MN = 2, LK = (2/3)BD = 4.
В равносторонней грани ABC имеем BM = 4, BL = 2, ∠MBL = 60°. По теореме косинусов ML² = 4² + 2² − 2·4·2·cos 60° = 12.
Аналогично в грани ACD: DN = 4, DK = 2, ∠NDK = 60°, поэтому NK² = 12. Следовательно, трапеция MLKN равнобедренная.
Высота равнобедренной трапеции образует с боковой стороной прямоугольный треугольник, второй катет которого равен половине разности оснований: (4 − 2)/2 = 1. По теореме Пифагора высота равна √(12 − 1) = √11.
Площадь сечения S = ((2 + 4)/2)·√11 = 3√11.
Ответ к б): 3√11.