В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки и ,
а на окружности другого основания точки и , причём образующая цилиндра, а отрезок пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол прямой.
б) Найдите угол между прямыми и , если , , .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим через C основание образующей CC₁, проходящей через C₁, а через O — центр основания, содержащего A и B.
При ортогональном проектировании на это основание отрезок AC₁ переходит в AC, а точка его пересечения с осью цилиндра — в O. Следовательно, O лежит на AC.
Точки A и C принадлежат окружности, поэтому AC — её диаметр. По теореме о вписанном угле, опирающемся на диаметр, ∠ABC = 90°, то есть AB ⟂ BC.
Кроме того, AB ⟂ BB₁, поскольку образующая BB₁ перпендикулярна плоскости основания.
Прямые BC и BB₁ пересекаются и лежат в плоскости BCC₁. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости AB ⟂ (BCC₁). Поэтому AB ⟂ BC₁.
Ответ: а) ∠ABC₁ = 90°.
б) Четырёхугольник BCC₁B₁ — прямоугольник: образующие параллельны и перпендикулярны основаниям, а соответствующие хорды оснований параллельны и равны. Поэтому BC = B₁C₁ = 8 и CC₁ = BB₁ = 15.
В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора AC = √(AB² + BC²) = √(36 + 64) = 10.
Так как BB₁ ∥ CC₁, искомый угол между прямыми BB₁ и AC₁ равен острому углу AC₁C.
Треугольник ACC₁ прямоугольный, поскольку CC₁ перпендикулярна плоскости основания. Поэтому tg ∠AC₁C = AC/CC₁ = 10/15 = 2/3.
Следовательно, искомый угол равен arctg(2/3).
Ответ: б) arctg(2/3).