Задание 15 ЕГЭ по профильной математике № 6F3F6D

а) В треугольнике SDC проведём через M прямую MN ∥ DC, где N лежит на SC. По теореме о пропорциональных отрезках SN/SC = SM/SD = 2/3, MN = 2DC/3.

Отрезок PQ соединяет середины противоположных сторон квадрата, поэтому PQ ∥ DC и PQ = DC. Следовательно, прямые MN и PQ лежат в одной плоскости — плоскости MPQ.

Эта плоскость пересекает грани SAD, SDC, SBC и основание по отрезкам QM, MN, NP и PQ соответственно. Поэтому сечение — четырёхугольник QMNP, причём MN ∥ PQ и MN ≠ PQ.

Плоскость, проходящая через S и середины AB и DC, является плоскостью симметрии правильной пирамиды. При отражении относительно неё D переходит в C, Q — в P, а M — в N, поскольку SM/SD = SN/SC. Следовательно, QM = PN.

Ответ: сечение QMNP — равнобедренная трапеция.

б) Обозначим объём всей пирамиды через V. Прямоугольник DCPQ составляет половину квадрата ABCD, а диагональ DP делит его на два равновеликих треугольника. Поэтому V(SDCP) = V(SDPQ) = V/4: высоты этих пирамид совпадают с высотой исходной.

Плоскость сечения отсекает от тетраэдра SDCP тетраэдр SMNP, а от тетраэдра SDP Q — тетраэдр SMPQ.

Тетраэдры SMNP и SDNP имеют общую высоту к плоскости SDC. Их основания SMN и SDN имеют общую высоту из N к SD, поэтому V(SMNP)/V(SDNP) = SM/SD = 2/3.

Аналогично, по основаниям SDN и SDC в той же плоскости V(SDNP)/V(SDCP) = SN/SC = 2/3. Значит, V(SMNP) = (2/3)² · V/4 = V/9.

Тетраэдры SMPQ и SDP Q имеют общее основание SPQ. Отношение их высот равно SM/SD = 2/3, поскольку M лежит на SD, а S — в плоскости основания SPQ. Поэтому V(SMPQ) = (2/3) · V/4 = V/6.

Многогранник, прилегающий к ребру DC, получается из пирамиды SDCPQ удалением этих двух тетраэдров. Его объём равен V/2 − V/9 − V/6 = 2V/9.

Объём другого многогранника равен V − 2V/9 = 7V/9. Их отношение равно (7V/9):(2V/9) = 7:2.

Ответ: 7 : 2.