В правильной треугольной призме все рёбра равны 4. Точка K середина ребра
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью является равнобедренной трапецией.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Через K в плоскости верхнего основания проведём прямую, параллельную AC. Она пересечёт B₁C₁ в точке L. По теореме о средней линии треугольника A₁B₁C₁ точка L — середина B₁C₁, KL = A₁C₁/2 = 2.
Плоскости оснований параллельны, поэтому плоскость AKC пересекает их по параллельным прямым AC и KL. На боковых гранях её следами служат AK и CL. Следовательно, сечение — четырёхугольник AKLC, причём AC ∥ KL и AC = 4 ≠ KL.
Грани AA₁B₁B и CC₁B₁B — прямоугольники. По теореме Пифагора AK² = AA₁² + A₁K² = 16 + 4 = 20 и CL² = CC₁² + C₁L² = 16 + 4 = 20.
Таким образом, AKLC — трапеция с равными боковыми сторонами AK и CL, то есть равнобедренная.
Ответ а): сечение AKLC — равнобедренная трапеция.
б) Пусть D — середина AC, F — середина BD, а E — середина KL. В равностороннем треугольнике ABC медиана BD является высотой, поэтому BD ⟂ AC и BD = √(4² − 2²) = 2√3.
При перпендикулярном проектировании верхнего основания на нижнее точки K и L переходят в середины AB и BC. Отрезок между этими серединами получается из AC гомотетией с центром B и коэффициентом 1/2. Поэтому его середина — точка F, и EF перпендикулярен основанию, EF = 4.
Так как AC ⟂ BD и AC ⟂ EF, прямая AC перпендикулярна плоскости BDE: в этой плоскости через D можно провести прямую, параллельную EF.
Плоскость BDE пересекает плоскость сечения по DE. Проведём в плоскости BDE перпендикуляр BH к прямой DE. Прямая BH перпендикулярна также прямой плоскости сечения, проходящей через H параллельно AC. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости BH перпендикулярен плоскости AKC, поэтому искомое расстояние равно BH.
Имеем DF = BD/2 = √3. Из прямоугольного треугольника DFE получаем DE = √(DF² + EF²) = √19.
В треугольнике BDE высота к стороне BD равна EF = 4. Выражая его площадь двумя способами, получаем BD · EF/2 = DE · BH/2.
Следовательно, BH = BD · EF/DE = 2√3 · 4/√19 = 8√57/19.
Ответ б): 8√57/19.