Дана трапеция с основаниями и . Диагональ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями и .
а) Докажите, что луч биссектриса угла .
б) Найдите , если известны диагонали трапеции: и .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Треугольник ABD равнобедренный с основанием AD, поэтому AB = BD. Треугольник BCD равнобедренный с основанием CD, поэтому BC = BD.
Следовательно, AB = BC, и в равнобедренном треугольнике ABC углы BAC и ACB равны.
Поскольку BC ∥ AD, накрест лежащие углы ACB и CAD равны. Значит, ∠BAC = ∠CAD.
В выпуклом четырёхугольнике диагональ AC проходит внутри угла BAD, поэтому луч AC является его биссектрисой.
Ответ а): луч AC — биссектриса угла BAD.
б) Имеем AB = BC = BD = 6,5. Введём прямоугольную систему координат: A(0; 0), D(2x; 0), B(x; h), где x > 0, h > 0.
Такие координаты возможны, поскольку в равнобедренном треугольнике ABD высота из B делит основание AD пополам.
Из BC ∥ AD и BC = 6,5 с учётом порядка вершин выпуклой трапеции получаем C(x + 6,5; h).
По теореме Пифагора AB² = x² + h² = 6,5², а AC² = (x + 6,5)² + h² = 12².
Вычитая первое равенство из второго, получаем 13x + 6,5² = 144 − 6,5², откуда 13x = 59,5.
По формуле расстояния между точками CD² = (6,5 − x)² + h² = (x² + h²) + 6,5² − 13x.
Следовательно, CD² = 2 · 6,5² − 59,5 = 25. Так как длина положительна, CD = 5.
Ответ б): 5.