Окружность с центром в точке касается сторон угла с вершиной в точках и Отрезок — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая параллельна биссектрисе угла
б) Найдите длину отрезка если известно, что и
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным: OA ⟂ NA и OB ⟂ NB.
Прямоугольные треугольники NAO и NBO равны по гипотенузе NO и катету OA = OB. Поэтому NO — биссектриса угла ANB и NA = NB.
Пусть H — середина AB. В равнобедренных треугольниках NAB и OAB медианы NH и OH являются высотами. Следовательно, N, H, O лежат на одной прямой.
В треугольнике ABC точка O — середина BC, а H — середина AB. Поэтому OH — средняя линия и OH ∥ AC.
Значит, AC параллельна прямой NO, содержащей биссектрису угла ANB.
Ответ: а) AC параллельна биссектрисе угла ANB.
б) Вычисление NO.
Угол BAC прямой, поскольку он опирается на диаметр BC. По теореме Пифагора BC = √(AB² + AC²) = √(24² + 10²) = 26.
Следовательно, OA = BC/2 = 13. По свойству средней линии OH = AC/2 = 5.
В прямоугольном треугольнике NAO прямая AH перпендикулярна гипотенузе NO, поэтому AH — высота, проведённая к гипотенузе.
По теореме о квадрате катета OA² = OH · ON. Таким образом, ON = 13²/5 = 169/5 = 33,8.
Ответ: б) 33,8.