Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и замена переменной.
Для существования log₃(log₃x) необходимо log₃x > 0, то есть x > 1. Это условие обеспечивает существование остальных логарифмов.
Положим t = log₃x, тогда t > 0.
По основному логарифмическому тождеству 3 в степени log₃(log₃x) равно log₃x = t.
По формуле перехода к новому основанию log₉x = log₃x/log₃9 = t/2.
Ответ: ОДЗ x > 1; для новой переменной t > 0.
б) Решение методом интервалов.
На ОДЗ исходное неравенство равносильно t + t²/4 − 8 ≤ 0.
Умножая на положительное число 4, получаем t² + 4t − 32 ≤ 0, то есть (t + 8)(t − 4) ≤ 0.
Нули множителей: −8 и 4. Знаки произведения на интервалах (−∞; −8), (−8; 4), (4; +∞) соответственно: +, −, +.
Обе граничные точки включаются, поскольку неравенство нестрогое. Следовательно, −8 ≤ t ≤ 4.
С учётом t > 0 получаем 0 < t ≤ 4.
Ответ: t ∈ (0; 4].
в) Возвращение к x.
Получаем 0 < log₃x ≤ 4. Поскольку основание 3 > 1, это равносильно 1 < x ≤ 3⁴ = 81.
Точка x = 1 исключена по ОДЗ, точка x = 81 включена как точка равенства.
Ответ: (1; 81].