Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и замена переменной.
Логарифмы определены при x > 0. По свойствам логарифмов log₂(32x¹⁰) = 5 + 10log₂x.
Положим t = log₂x. Тогда второй знаменатель равен t² − 10t + 25 = (t − 5)².
Оба знаменателя отличны от нуля при t ≠ 5. Поэтому ОДЗ: x > 0, x ≠ 32.
Ответ: t ∈ ℝ, t ≠ 5.
б) Решение методом интервалов.
На ОДЗ равносильно получаем: 1 + 10/(t − 5) + 16/(t − 5)² ≥ 0.
Приводим к общему знаменателю: ((t − 5)² + 10(t − 5) + 16)/(t − 5)² ≥ 0, то есть (t − 3)(t + 3)/(t − 5)² ≥ 0.
Критические точки: −3, 3, 5. Знаменатель положителен на ОДЗ, поэтому знаки дроби на интервалах (−∞; −3), (−3; 3), (3; 5), (5; +∞) соответственно: +, −, +, +.
Точки −3 и 3 включаем как нули числителя, точку 5 исключаем по ОДЗ.
Ответ: t ∈ (−∞; −3] ∪ [3; 5) ∪ (5; +∞).
в) Возвращение к x.
Функция log₂x возрастает, поэтому t ≤ −3 равносильно 0 < x ≤ 1/8; 3 ≤ t < 5 равносильно 8 ≤ x < 32; t > 5 равносильно x > 32.
Ответ: (0; 1/8] ∪ [8; 32) ∪ (32; +∞).