В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки и ,
а на окружности другого основания точки и , причём образующая цилиндра, а отрезок пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если , , .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим через C ортогональную проекцию C₁ на плоскость основания, содержащего A и B. Через O обозначим центр этого основания.
Поскольку цилиндр прямой, CC₁ — его образующая, а C лежит на окружности основания.
По условию отрезок AC₁ пересекает ось цилиндра. При ортогональном проектировании на основание отрезок AC₁ переходит в AC, а точка его пересечения с осью — в O. Следовательно, O лежит на AC.
Таким образом, AC — диаметр окружности основания. Вписанный угол ABC, опирающийся на диаметр, прямой: AB перпендикулярен BC.
Кроме того, AB перпендикулярен BB₁, поскольку BB₁ перпендикулярен плоскости основания.
Прямые BC и BB₁ пересекаются и лежат в плоскости BCC₁B₁. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости AB перпендикулярен этой плоскости, следовательно, AB перпендикулярен BC₁.
Значит, угол ABC₁ равен 90°. Ответ: утверждение доказано.
б) Четырёхугольник BCC₁B₁ — прямоугольник: его противоположные стороны BC и B₁C₁ параллельны и равны, а образующие перпендикулярны основаниям.
Поэтому BC = B₁C₁ = 21. В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора AC = √(AB² + BC²) = √(20² + 21²) = 29.
Как доказано в пункте а), AC — диаметр основания. Следовательно, радиус цилиндра R = 29/2, а его высота h = BB₁ = 15.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна S = 2πRh = 2π · (29/2) · 15 = 435π.
Ответ: 435π.