Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала фотографий, а Наташа
фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.
а) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?
б) Могли ли они фотографировать в течение 8 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа
за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Пусть девочки фотографировали k дней, k > 1. Ежедневно Наташа делала на n − m фотографий больше Маши, поэтому k(n − m) = 1001.
а) При k = 7 получаем n − m = 1001/7 = 143.
Например, если m = 1, n = 144, то за 7 дней разность суммарного числа фотографий составит 7 · 143 = 1001. Все условия выполнены.
Ответ: да.
б) При k = 8 равенство 8(n − m) = 1001 невозможно: левая часть делится на 8, а 1001 на 8 не делится.
Ответ: нет.
в) В последний день Маша сделала m + k − 1 ≤ 39 фотографий. Поскольку m ≥ 0, получаем k ≤ 40.
Число k — делитель числа 1001 = 7 · 11 · 13. Его делители, большие 1 и не превосходящие 40, — только 7, 11 и 13: произведение любых двух указанных простых множителей больше 40.
Из m + k − 1 ≤ 39 следует m ≤ 40 − k. По формуле суммы арифметической прогрессии суммарное число фотографий Маши равно S = k(2m + k − 1)/2 ≤ k(79 − k)/2.
При k = 7 получаем S ≤ 252; при k = 11 — S ≤ 374; при k = 13 — S ≤ 429. Поэтому Наташа сделала не более 429 + 1001 = 1430 фотографий.
Эта оценка достигается: возьмём k = 13, m = 27 и n = 104. В последний день Маша сделает 39 фотографий, а разность общих количеств составит 13 · (104 − 27) = 1001.
Наташа при этом сделает 13 · (104 + 116)/2 = 1430 фотографий.
Ответ: 1430.