Из пары натуральных чисел за один ход можно получить пару или при условии, что оба числа в новой паре положительны. Сначала есть пара .
а) Можно ли за 50 таких ходов получить пару, в которой одно из чисел равно 100?
б) За какое число ходов получится пара, сумма чисел в которой равна 400?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать так, чтобы после каждого хода оба числа в паре не превосходили 100?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
При каждом ходе сумма чисел увеличивается на 1, а разность изменяется на 3 или −3.
а) Пусть за 50 ходов первый ход выбран x раз, а второй — 50 − x раз.
Тогда a = 5 + 2x − (50 − x) = 3x − 45, b = 7 − x + 2(50 − x) = 107 − 3x.
Равенство a = 100 требует 3x = 145, а равенство b = 100 требует 3x = 7. Ни одно из этих равенств невозможно при целом x.
Ответ: нет.
б) Начальная сумма равна 12. После n ходов она равна 12 + n, поэтому 12 + n = 400, откуда n = 388.
Такая последовательность допустима: будем чередовать первый и второй ходы. За два хода (a; b) → (a + 2; b − 1) → (a + 1; b + 1).
После 194 таких пар ходов получим (199; 201). Все промежуточные числа положительны: перед каждым первым ходом второе число не меньше 7.
Ответ: 388.
в) Если оба числа не превосходят 100, их сумма не больше 200, поэтому число ходов не больше 200 − 12 = 188.
После 188 ходов сумма должна равняться 200, то есть возможна только пара (100; 100). Однако начальная разность равна −2, а каждый ход изменяет её на ±3. Получить разность 0 невозможно, поскольку 0 − (−2) = 2 не делится на 3.
Следовательно, можно сделать не больше 187 ходов. Покажем, что эта оценка достигается.
Выполним 93 раза пару ходов из пункта б). После k таких пар получаем (5 + k; 7 + k), а внутри k-й пары — (6 + k; 5 + k), где 1 ≤ k ≤ 93. Все числа положительны и не превосходят 100.
После 186 ходов получится (98; 100). Ещё один первый ход даёт (100; 99). Таким образом, 187 ходов допустимы.
Ответ: 187.