По окружности в некотором порядке расставлены натуральные числа от 1 до 12. Между каждыми двумя соседними числами написали модуль их разности. Затем исходные числа стёрли.
а) Приведите пример расстановки, когда сумма полученных чисел равна 32.
б) Может ли сумма полученных чисел быть равна 29?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма полученных чисел?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Расставим числа по окружности в порядке: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 7, 11, 9, 12.
Сумма модулей разностей соседних чисел, включая последнюю пару 12 и 1, равна 5 · 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 2 + 3 + 11 = 32.
Ответ: например, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 7, 11, 9, 12.
б) Для любых целых a и b числа |a − b| и a + b имеют одинаковую чётность: их разность равна −2 · min(a, b).
Следовательно, сумма всех модулей разностей имеет ту же чётность, что и сумма чисел во всех соседних парах.
Каждое исходное число входит в две пары, поэтому последняя сумма равна 2(1 + 2 + … + 12) = 156 и чётна.
Число 29 нечётно, поэтому такая сумма невозможна.
Ответ: нет.
в) Для любых соседних чисел a и b по неравенству треугольника |a − b| ≤ |a − 6| + |b − 6|.
Сложим эти неравенства для всех 12 соседних пар. Каждое число встречается дважды, поэтому сумма S модулей разностей удовлетворяет оценке S ≤ 2(|1 − 6| + |2 − 6| + … + |12 − 6|).
Отсюда S ≤ 2((5 + 4 + 3 + 2 + 1) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)) = 2(15 + 21) = 72.
Покажем, что оценка достигается. Расставим числа так: 1, 7, 2, 8, 3, 9, 4, 10, 5, 11, 6, 12.
Модули разностей равны последовательно 6, 5, 6, 5, 6, 5, 6, 5, 6, 5, 6, 11. Их сумма равна 6 · 6 + 5 · 5 + 11 = 72.
Ответ: 72.