Для чисел и состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют
сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел и получается сумма .
а) Существуют ли трёхзначные числа и для которых ?
б) Существуют ли четырёхзначные числа и для которых ?
в) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 340 является суммой
для некоторых пятизначных чисел и ?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Возьмём A = 978 и B = 997. Тогда S = 9·9 + 7·9 + 8·7 = 81 + 63 + 56 = 200.
Ответ: да.
б) Произведение двух цифр не превосходит 81. Если оно отлично от 81, то хотя бы одна из цифр не больше 8, поэтому произведение не превосходит 8·9 = 72.
Если все четыре произведения равны 81, то S = 324. Если хотя бы одно меньше 81, то S ≤ 3·81 + 72 = 315. Следовательно, значение 320 невозможно.
Ответ: нет.
в) Покажем, что каждое число N от 1 до 340 можно представить суммой не более пяти произведений цифр. Недостающие слагаемые дополним произведениями 0·0.
Сначала пусть 1 ≤ N ≤ 323. При делении на 81 получаем N = 81q + r, где 0 ≤ q ≤ 3 и 0 ≤ r ≤ 80. Далее r = 9a + b, где 0 ≤ a ≤ 8 и 0 ≤ b ≤ 8.
Таким образом, N — сумма q произведений 9·9 и двух произведений 9·a и 1·b. Всего использовано q + 2 ≤ 5 произведений цифр.
Теперь пусть 324 ≤ N ≤ 340. Запишем N = 4·81 + t, где 0 ≤ t ≤ 16. Если t отлично от 11 и 13, оно является произведением двух цифр: для 0 ≤ t ≤ 9 берём 1·t, а 10 = 2·5, 12 = 3·4, 14 = 2·7, 15 = 3·5, 16 = 4·4.
Оставшиеся два числа также представим пятью произведениями: 335 = 3·81 + 56 + 36 = 9·9 + 9·9 + 9·9 + 7·8 + 6·6; 337 = 3·81 + 49 + 45 = 9·9 + 9·9 + 9·9 + 7·7 + 5·9.
Из каждой суммы строим A и B, записав первые множители как цифры A, а вторые — как соответствующие цифры B. Поскольку N ≥ 1, есть положительное произведение; поставим его первым. Тогда первые цифры обоих чисел ненулевые, и после дополнения до пяти слагаемых оба числа пятизначные.
Ответ: да.