На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх или пяти чисел
из записанных является целым числом.
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 305 и 1511?
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 305?
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число и его квадрат Найдите наименьшее возможное значение
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Докажем, что все записанные числа дают одинаковый остаток при делении на 15.
Выберем любые два числа a и b и ещё два числа c, d. Суммы a + c + d и b + c + d делятся на 3, поэтому их разность a − b делится на 3.
Аналогично выберем четыре числа, отличные от a и b. Прибавляя к их сумме сначала a, затем b, получаем две суммы, делящиеся на 5. Следовательно, a − b делится на 5.
Таким образом, разность любых двух записанных чисел делится на 15. Обратно, если все числа имеют один остаток при делении на 15, то сумма любых трёх делится на 3, а любых пяти — на 5. Значит, это условие достаточно.
а) Разность 1511 − 305 = 1206 не делится на 15, поскольку не делится на 5. Поэтому оба числа одновременно присутствовать не могут.
Ответ: нет.
б) Число 305 при делении на 3 даёт остаток 2, поэтому такой же остаток дают все записанные числа.
Но если a = 3q + 2, то a² = 9q² + 12q + 4 = 3(3q² + 4q + 1) + 1. Его квадрат даёт остаток 1 и потому не может быть записан на доске.
Ответ: нет.
в) Числа n и n² должны быть различными, поэтому n > 1. По доказанному n² − n должно делиться на 15.
Для n = 2, 3, 4, 5 разность n² − n равна соответственно 2, 6, 12, 20. Ни одно из этих чисел не делится на 15, поэтому n ≥ 6.
При n = 6 имеем n² = 36. Пример десяти подходящих чисел: 6, 21, 36, 51, 66, 81, 96, 111, 126, 141.
Все они различны, натуральны и дают остаток 6 при делении на 15. По доказанному достаточному условию среднее любых трёх или пяти из них целое. Следовательно, нижняя оценка достигается.
Ответ: 6.