Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ. Все аргументы логарифмов должны быть положительными:
2x² + 1 > 0; (32x + 1)/(32x) > 0; x + 16 > 0.
Первое условие выполнено при любом x. Методом интервалов второе даёт x ∈ (−∞; −1/32) ∪ (0; +∞).
С учётом третьего условия ОДЗ: x ∈ (−16; −1/32) ∪ (0; +∞).
б) Равносильные преобразования. На ОДЗ объединяем логарифмы слева. Поскольку основание 11 > 1, получаем равносильное неравенство:
(2x² + 1)(1 + 1/(32x)) ≥ 1 + x/16.
Раскрывая скобки и перенося правую часть влево, получаем 2x² + 1/(32x) ≥ 0, то есть (4x + 1)(16x² − 4x + 1)/(32x) ≥ 0.
Множитель 16x² − 4x + 1 = (4x − 1/2)² + 3/4 положителен, поэтому (4x + 1)/x ≥ 0.
в) Метод интервалов. Критические точки: −1/4 и 0. Знаки дроби на промежутках (−∞; −1/4), (−1/4; 0), (0; +∞) соответственно: +, −, +.
Получаем x ∈ (−∞; −1/4] ∪ (0; +∞). Точка −1/4 включается, поскольку обращает числитель в нуль; точка 0 исключается.
Пересекаем результат с ОДЗ: граница −16 исключается, поскольку при ней аргумент правого логарифма равен нулю.
Ответ: (−16; −1/4] ∪ (0; +∞).