Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ.
Аргументы логарифмов должны быть положительными: x√5 > 0, x/(1−x) > 0, 5x²+1/x−2 > 0.
Первые два условия дают 0 < x < 1.
При 0 < x ≤ 1/2 имеем 1/x ≥ 2, поэтому 5x²+1/x−2 > 0.
При 1/2 < x < 1 имеем 5x² > 5/4 и 1/x > 1, поэтому третий аргумент также положителен.
Ответ: ОДЗ — (0; 1).
б) Равносильные преобразования.
На ОДЗ по свойствам логарифмов левая часть равна log₂(5x²)−log₂(x/(1−x)) = log₂(5x(1−x)).
Поскольку основание 2 > 1, логарифмическая функция возрастает. Поэтому исходное неравенство равносильно 5x(1−x) ≤ 5x²+1/x−2.
Переносим слагаемые вправо: 10x²−5x+1/x−2 ≥ 0.
Умножаем на x > 0, сохраняя знак неравенства: 10x³−5x²−2x+1 ≥ 0.
Разложение на множители даёт (2x−1)(5x²−1) ≥ 0.
Ответ: на ОДЗ требуется решить (2x−1)(5x²−1) ≥ 0.
в) Метод интервалов.
На интервале (0; 1) нули произведения: x = √5/5 и x = 1/2, причём √5/5 < 1/2.
На (0; √5/5) оба множителя отрицательны, поэтому произведение положительно.
На (√5/5; 1/2) множители имеют разные знаки, поэтому произведение отрицательно.
На (1/2; 1) оба множителя положительны.
Точки √5/5 и 1/2 включаются, поскольку неравенство нестрогое; точки 0 и 1 исключены по ОДЗ.
Ответ: (0; √5/5] ∪ [1/2; 1).