Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ.
Разложим на множители: x² − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3).
Аргументы логарифмов должны быть положительными: (x − 5)²(x + 3) > 0 и (x − 5)² > 0.
Следовательно, ОДЗ: x > −3, x ≠ 5.
б) Равносильные преобразования.
По формуле перехода к новому основанию 0,5 log₂((x − 5)²) = log₄((x − 5)²).
На ОДЗ исходное неравенство равносильно log₄((x − 5)²(x + 3)) − log₄((x − 5)²) + 1 ≥ 0.
По свойству разности логарифмов получаем log₄(x + 3) + 1 ≥ 0, то есть log₄(4(x + 3)) ≥ 0.
Поскольку основание 4 > 1, равносильно 4(x + 3) ≥ 1, откуда 4x + 11 ≥ 0.
в) Метод интервалов и границы.
Выражение 4x + 11 отрицательно при x < −11/4, равно нулю при x = −11/4 и положительно при x > −11/4.
Получаем x ≥ −11/4. Пересекаем с ОДЗ: точка −11/4 = −2,75 входит в решение, точка 5 исключается.
Ответ: [−2,75; 5) ∪ (5; +∞).