Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и замена переменной.
Для первого логарифма необходимо x + 5 > 0. Основание второго логарифма (x + 5)² должно быть положительным и отличным от 1.
При x + 5 > 0 эти условия дают x > −5 и x ≠ −4.
Положим t = log₂(x + 5). На ОДЗ t ≠ 0, а x = 2ᵗ − 5.
По формуле перехода к новому основанию log₁₆(x + 5) = t/4, log₍ₓ₊₅₎²2 = 1/(2t).
б) Равносильные преобразования.
Получаем t/4 + 1/(2t) ≥ 3/4.
Переносим правую часть влево и приводим к общему знаменателю: (t² − 3t + 2)/(4t) ≥ 0.
Разлагая числитель на множители, получаем (t − 1)(t − 2)/(4t) ≥ 0.
в) Метод интервалов и ответ.
Критические точки: 0, 1, 2. Точка 0 исключена по ОДЗ.
На интервалах (−∞; 0), (0; 1), (1; 2), (2; +∞) знаки дроби соответственно: −, +, −, +.
Точки 1 и 2 входят в решение, поскольку обращают числитель в нуль, а знаменатель в них ненулевой.
Следовательно, t ∈ (0; 1] ∪ [2; +∞).
Функция 2ᵗ возрастает, поэтому 0 < t ≤ 1 даёт 1 < x + 5 ≤ 2, то есть −4 < x ≤ −3.
Условие t ≥ 2 даёт x + 5 ≥ 4, то есть x ≥ −1. Все полученные значения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: (−4; −3] ∪ [−1; +∞).