Задание 17 ЕГЭ по профильной математике

Подставим $I$ в формулу мощности: $P=\frac{{\epsilon }^{2}R}{{(r+R)}^2}=\frac{2500R}{{(R+1)}^2}$, $R\ge 0$.

Производная: $P\prime (R)=\frac{2500{(R+1)}^2-2500R\cdot 2(R+1)}{{(R+1)}^4}=\frac{2500(1-R)}{{(R+1)}^3}$.

$P\prime >0$ при $0\le R<1$ и $P\prime <0$ при $R>1$: функция возрастает, затем убывает, наибольшее значение — при $R=1$.

$P(1)=\frac{2500}{4}=625$ Вт.

Ответ: 625.

Так как $A>0$, максимумы $A$ и $A^2$ достигаются при одном и том же $\tau$. Обозначим $x={\tau }^2>0$:

$A^2={(k{\theta }_0)}^2\cdot f(x)$, где $f(x)=\frac{x^2}{x^2+(n-2)T^{2}x+T^4}$.

После упрощения $f\prime (x)=\frac{T^{2}x(2T^2-(2-n)x)}{{(x^2+(n-2)T^{2}x+T^4)}^2}$.

$f\prime (x)=0$ при $x_0=\frac{2T^2}{2-n}=\frac{T^2}{1-\frac{n}{2}}$; слева от $x_0$ производная положительна, справа — отрицательна, значит, это точка максимума.

$\tau =\frac{T}{\sqrt{1-\frac{n}{2}}}=\frac{\mathrm{14,7}}{\sqrt{\mathrm{0,9604}}}=\frac{\mathrm{14,7}}{\mathrm{0,98}}=15$ с.

Ответ: 15.

а) Математическая модель.
Пусть за неделю первый завод производит x единиц товара, второй — y единиц, где x ≥ 0, y ≥ 0.
Тогда рабочие затрачивают соответственно x² и y² часов.
Ограничение на оплату труда: 200x² + 300y² ≤ 1 200 000, или 2x² + 3y² ≤ 12 000.
Требуется найти наибольшее значение x + y.

б) Оценка и достижение максимума.
Из неравенства (2x − 3y)² ≥ 0 следует:
5(2x² + 3y²) − 6(x + y)² = (2x − 3y)² ≥ 0.
Поэтому 6(x + y)² ≤ 5 · 12 000 = 60 000, откуда x + y ≤ 100.
Равенство возможно при 2x = 3y и x + y = 100, то есть при x = 60, y = 40.
Проверим расходы: 200 · 60² + 300 · 40² = 720 000 + 480 000 = 1 200 000 рублей.
Следовательно, выпуск 100 единиц достижим и является наибольшим.
Ответ: 100 единиц товара.

а) Модель прибыли и её максимум.
При выпуске x тыс. единиц, где x ≥ 0, годовая прибыль в млн рублей равна:
P(x) = px − (0,5x² + 2x + 6) = −0,5x² + (p − 2)x − 6.
Если p ≤ 2, то при x ≥ 0 оба слагаемых −0,5x² и (p − 2)x неположительны, поэтому P(x) ≤ −6. Окупаемость невозможна.
При p > 2 выделим полный квадрат:
P(x) = −0,5(x − (p − 2))² + 0,5(p − 2)² − 6.
Квадрат неотрицателен, поэтому наибольшая прибыль достигается при x = p − 2 > 0 и равна P = 0,5(p − 2)² − 6.

б) Условие окупаемости.
Чтобы строительство окупилось не больше чем за 3 года, необходимо и достаточно, чтобы максимальная годовая прибыль была не меньше 78/3 = 26 млн рублей.
Получаем 0,5(p − 2)² − 6 ≥ 26, то есть (p − 2)² ≥ 64.
С учётом p > 2 это равносильно p − 2 ≥ 8, откуда p ≥ 10.
При p = 10 оптимальный выпуск равен 8 тыс. единиц, годовая прибыль составляет 0,5 · 8² − 6 = 26 млн рублей.
За 3 года прибыль составит 78 млн рублей, что покрывает стоимость строительства.
Ответ: 10 тыс. рублей за единицу.