Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство тыс. единиц продукции на таком заводе равны млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит . Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении строительство завода окупится не больше чем за 3 года?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Модель прибыли и её максимум.
При выпуске x тыс. единиц, где x ≥ 0, годовая прибыль в млн рублей равна:
P(x) = px − (0,5x² + 2x + 6) = −0,5x² + (p − 2)x − 6.
Если p ≤ 2, то при x ≥ 0 оба слагаемых −0,5x² и (p − 2)x неположительны, поэтому P(x) ≤ −6. Окупаемость невозможна.
При p > 2 выделим полный квадрат:
P(x) = −0,5(x − (p − 2))² + 0,5(p − 2)² − 6.
Квадрат неотрицателен, поэтому наибольшая прибыль достигается при x = p − 2 > 0 и равна P = 0,5(p − 2)² − 6.
б) Условие окупаемости.
Чтобы строительство окупилось не больше чем за 3 года, необходимо и достаточно, чтобы максимальная годовая прибыль была не меньше 78/3 = 26 млн рублей.
Получаем 0,5(p − 2)² − 6 ≥ 26, то есть (p − 2)² ≥ 64.
С учётом p > 2 это равносильно p − 2 ≥ 8, откуда p ≥ 10.
При p = 10 оптимальный выпуск равен 8 тыс. единиц, годовая прибыль составляет 0,5 · 8² − 6 = 26 млн рублей.
За 3 года прибыль составит 78 млн рублей, что покрывает стоимость строительства.
Ответ: 10 тыс. рублей за единицу.