В основании прямой призмы лежит параллелограмм На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём Четырёхугольник равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3.
а) Докажите, что точка середина ребра
б) Найдите площадь трапеции если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Плоскость трапеции пересекает параллельные плоскости оснований призмы по параллельным прямым MK и AN. Следовательно, MK и AN — основания трапеции.
Обозначим через P и Q ортогональные проекции точек M и K на нижнее основание. Тогда P лежит на AB, Q лежит на BC, BQ = BC/3 и PQ ∥ AN.
По подобию треугольников BPQ и BAN имеем BP/BA = BQ/BN = PQ/AN. Поскольку призма прямая, MK = PQ.
Так как BP ≤ BA, получаем MK ≤ AN, поэтому MK = 2, AN = 3 и BQ/BN = 2/3.
Следовательно, BN = (3/2)BQ = (3/2) · BC/3 = BC/2. Значит, N — середина BC.
Ответ: N — середина ребра BC.
б) Площадь основания призмы равна S = V/h = 12/2 = 6.
Поскольку BN = BC/2, площадь треугольника BAN составляет четверть площади параллелограмма: S(BAN) = 6/4 = 3/2.
Высота треугольника BAN, проведённая из B к AN, равна 2S(BAN)/AN = 2 · (3/2)/3 = 1.
Треугольник BPQ получается из BAN гомотетией с центром B и коэффициентом 2/3. Поэтому расстояние от B до PQ равно 2/3, а расстояние между PQ и AN равно 1 − 2/3 = 1/3.
Возьмём точку T на прямой AN так, чтобы PT ⟂ AN. Тогда PT = 1/3. По теореме о трёх перпендикулярах MT ⟂ AN, поэтому MT — высота трапеции.
Треугольник MPT прямоугольный, MP = 2. Значит, MT = √(MP² + PT²) = √(4 + 1/9) = √37/3.
S(AMKN) = (AN + MK) · MT/2 = (3 + 2) · √37/6 = 5√37/6.
Ответ: 5√37/6.