В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 9. Точка лежит на ребре , ,
а точка лежит на ребре . Известно, что .
а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости .
б) Найдите площадь треугольника .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Введём прямоугольную систему координат: плоскость основания задаётся условием z = 0, A(0; 0; 0), B(5; 0; 0). Для правильного шестиугольника тогда C(15/2; 5√3/2; 0), D(5; 5√3; 0), а его центр O(5/2; 5√3/2; 0).
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне: OA = 5. По теореме Пифагора высота пирамиды SO = √(SA² − OA²) = √(81 − 25) = 2√14.
Следовательно, S(5/2; 5√3/2; 2√14), M(1; 0; 0). Пусть t = SK/SC. Тогда K(5/2 + 5t; 5√3/2; 2√14(1 − t)).
Обозначим координаты K через (x; y; z). Из MK = KD по формуле расстояния получаем (x − 1)² + y² + z² = (x − 5)² + (y − 5√3)² + z².
Поскольку y = 5√3/2, имеем y² = (y − 5√3)². Поэтому (x − 1)² = (x − 5)², откуда 8x = 24 и x = 3.
Тогда 5/2 + 5t = 3, то есть t = 1/10. Проекция K на основание — точка H(3; 5√3/2; 0).
Координаты середины MD равны ((1 + 5)/2; (0 + 5√3)/2; 0), то есть H — середина MD. Следовательно, H принадлежит плоскости DKM.
Прямая KH перпендикулярна плоскости основания и лежит в плоскости DKM. По признаку перпендикулярности плоскостей плоскость DKM перпендикулярна плоскости ABC.
Ответ: плоскости DKM и ABC перпендикулярны.
б) Из найденного значения t получаем KH = 2√14(1 − 1/10) = 9√14/5.
По формуле расстояния MD = √((5 − 1)² + (5√3)²) = √91.
Так как KH перпендикулярна плоскости основания, она перпендикулярна MD и является высотой треугольника DKM.
Следовательно, S(DKM) = MD · KH/2 = √91 · 9√14/10 = 9√1274/10 = 63√26/10.
Ответ: 63√26/10.