Задание 20 ЕГЭ по профильной математике

Обозначим исходную сумму через S, новую — через T. Приписывание цифры 3 превращает число n в 10n + 3, а цифры 7 — в 10n + 7.

а) Возьмём числа 1, 8, 4 и поместим их соответственно в первую, вторую и третью группы.
Тогда S = 1 + 8 + 4 = 13, T = 13 + 87 + 4 = 104 = 8 · 13.
Все числа различны, каждая группа непуста. Ответ: да.

б) Для любого натурального n выполнены неравенства 10n + 3 < 17n и 10n + 7 ≤ 17n.
Числа третьей группы также удовлетворяют n < 17n. Складывая эти неравенства, получаем T < 17S.
Ответ: нет.

в) Пусть в первых двух группах вместе m чисел, из них k — в первой группе; C — сумма чисел третьей группы. Тогда m ≥ 2, k ≥ 1, C ≥ 1.
Имеем T = 10(S − C) + 3k + 7(m − k) + C, поэтому T − 10S = 7m − 4k − 9C ≤ 7m − 13.

Всего записано не менее m + 1 различных натуральных чисел, следовательно, S ≥ 1 + 2 + … + (m + 1) = (m + 1)(m + 2)/2.
Для целого m ≥ 2 справедливо (m − 5)(11m − 59) ≥ 0: при m ≤ 5 оба множителя неположительны, при m ≥ 6 оба положительны.
Раскрывая скобки, получаем 147m − 273 ≤ 11(m + 1)(m + 2).
Значит, 21(T − 10S) ≤ 147m − 273 ≤ 11(m + 1)(m + 2) ≤ 22S.
Отсюда 21T ≤ 232S, то есть T/S ≤ 232/21.

Оценка достигается: первая группа — {2}, вторая — {3, 4, 5, 6}, третья — {1}.
Тогда S = 21, T = 23 + 37 + 47 + 57 + 67 + 1 = 232.
Ответ: 232/21.

а) Представим число в виде 2043 = 1026 + 1017.
Суммы цифр обоих слагаемых равны 9: 1 + 0 + 2 + 6 = 1 + 0 + 1 + 7 = 9.
Слагаемые натуральные и различные. Ответ: да.

б) Предположим, что 599 = a + b и суммы цифр слагаемых одинаковы. Запишем оба слагаемых тремя цифрами, при необходимости добавляя слева нули.
Сумма цифр единиц равна 9: она не превосходит 18 и оканчивается на 9. Поэтому переноса в разряд десятков нет.
По той же причине сумма цифр десятков равна 9, переноса в разряд сотен нет. Сумма цифр сотен равна 5.
Следовательно, сумма всех цифр двух слагаемых равна 9 + 9 + 5 = 23. Но при одинаковых суммах цифр она должна быть чётной. Получено противоречие.
Ответ: нет.

в) Пусть a₁ < a₂ < … < a₇ — семь натуральных чисел с общей суммой цифр s.
Каждое число имеет тот же остаток при делении на 9, что и сумма его цифр. Поэтому разность любых двух выбранных чисел делится на 9 и aᵢ₊₁ − aᵢ ≥ 9.
Кроме того, a₁ ≥ s: число не меньше суммы своих цифр.

Если s ≥ 6, то сумма семи чисел не меньше s + (s + 9) + … + (s + 54) = 7s + 189 ≥ 231.

Пусть 1 ≤ s ≤ 5. Среди чисел от 1 до 99 сумму цифр s имеют ровно s + 1 чисел: s, s + 9, …, s + 9s.
Их не более шести, поэтому a₇ ≥ 100. Первые шесть чисел имеют сумму не меньше s + (s + 9) + … + (s + 45) = 6s + 135.
Таким образом, сумма всех семи чисел не меньше 6s + 235 ≥ 241 > 231.

Оценка 231 достигается на числах 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60: они различны, сумма цифр каждого равна 6.
Их сумма равна (6 + 60) · 7/2 = 231.
Ответ: 231.

Обозначим количество синих карточек через b, красных — через r. Тогда наибольшее число на синей карточке равно r, а на красной — 2b. В частности, r делится на 5.

а) Возьмём одну синюю карточку с числом 5 и пять красных с числами −6, −4, −2, 0, 2.

Все числа больше −120, числа каждого цвета различны и имеют нужную делимость. Максимум на красных карточках равен 2 = 2 · 1, а на синей — 5, то есть количеству красных карточек. Всего карточек шесть.

Ответ: да.

б) Красные карточки содержат различные чётные числа, большие −120 и не превосходящие 2b. Это числа из списка −118, −116, …, 2b.

В этом списке (2b + 118)/2 + 1 = b + 60 чисел. Поэтому r ≤ b + 60.

Если бы r = b + 90, получили бы b + 90 ≤ b + 60, что невозможно.

Ответ: нет.

в) Синие карточки содержат различные числа, кратные 5, большие −120 и не превосходящие r. Поскольку r кратно 5, в списке −115, −110, …, r ровно (r + 115)/5 + 1 = r/5 + 24 числа. Следовательно, b ≤ r/5 + 24.

Используя r ≤ b + 60, получаем 5b ≤ r + 120 ≤ b + 180. Значит, b ≤ 45, а r ≤ b + 60 ≤ 105. Поэтому b + r ≤ 150.

Покажем, что оценка достигается. Возьмём синие карточки со всеми числами −115, −110, …, 105, а красные — со всеми числами −118, −116, …, 90.

Синих карточек (105 + 115)/5 + 1 = 45, красных (90 + 118)/2 + 1 = 105. Максимум на синих равен 105 — количеству красных; максимум на красных равен 90 = 2 · 45. Все остальные условия также выполнены, а всего карточек 150.

Ответ: 150.