На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны
и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).
а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше , если все числа на доске кратны 3?
б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?
в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Да. Возьмём 29 зелёных чисел 3, 6, …, 87 и одно красное число 21.
Все числа кратны 3, зелёные числа различны, а красное число кратно 7.
Их сумма равна 3 · 29 · 30 / 2 + 21 = 1326 < 1395.
Ответ: да.
б) Если красное число ровно одно, то зелёных чисел 29. Расположим их по возрастанию: каждое следующее не меньше предыдущего плюс 3.
Поэтому сумма зелёных чисел не меньше 3 + 6 + … + 87 = 1305. Красное натуральное число не меньше 7.
Общая сумма не меньше 1305 + 7 = 1312 > 1067.
Ответ: нет.
в) Пусть красных чисел r, тогда зелёных 30 − r. Поскольку числа каждого цвета различны, их общая сумма не меньше
S(r) = 3(30 − r)(31 − r) / 2 + 7r(r + 1) / 2 = 1395 − 88r + 5r².
При r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 эта нижняя граница равна соответственно 1395, 1312, 1239, 1176, 1123, 1080. Все значения больше 1067, значит, красных чисел должно быть хотя бы 6.
Покажем, что шести достаточно. Возьмём 24 зелёных числа 3, 6, …, 69, 78 и шесть красных чисел 7, 14, 21, 28, 35, 56.
Числа каждого цвета различны и имеют требуемую кратность. Сумма зелёных равна 3 · 23 · 24 / 2 + 78 = 906, сумма красных — 7 · 15 + 56 = 161.
Общая сумма равна 906 + 161 = 1067, поэтому нижняя граница достигается.
Ответ: 6.