Есть 4 камня, каждый массой 7 тонн, и 9 камней, каждый массой 22 тонны.
а) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы разность суммарных масс камней в этих группах составила 8 тонн?
б) Можно ли разложить все эти камни на две группы, суммарные массы камней в которых равны?
в) Все камни хотят разложить на две группы. Какое наименьшее положительное значение (в тоннах) может принимать разность суммарных масс камней в этих группах?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Общая масса всех камней равна 4 · 7 + 9 · 22 = 226 тонн.
а) В одну группу положим пять камней по 22 тонны и один камень массой 7 тонн. Её масса равна 5 · 22 + 7 = 117 тонн.
В другой группе останутся четыре камня по 22 тонны и три камня по 7 тонн: их масса равна 4 · 22 + 3 · 7 = 109 тонн.
Разность масс равна 117 − 109 = 8 тонн.
Ответ: да.
б) При равенстве масс каждая группа должна весить 226 / 2 = 113 тонн.
Пусть в одной группе x камней по 7 тонн и y камней по 22 тонны. Тогда 7x + 22y = 113, где x — целое число от 0 до 4.
При делении на 22 число 7x может давать только остатки 0, 7, 14, 21, 6, а число 113 даёт остаток 3. Равенство невозможно.
Ответ: нет.
в) Пусть масса меньшей группы равна m тонн. Тогда положительная разность масс равна d = 226 − 2m.
Если 0 < d < 6, то 110 < m < 113. Поскольку массы целые, m равно 111 или 112.
Эти числа дают при делении на 22 остатки 1 и 2. Однако масса любой группы имеет вид 7x + 22y, где 0 ≤ x ≤ 4, и может давать только остатки 0, 7, 14, 21, 6. Следовательно, положительная разность меньше 6 невозможна.
Разность 6 достижима: в одну группу положим пять камней по 22 тонны, получив 110 тонн. В другую — остальные камни общей массой 4 · 22 + 4 · 7 = 116 тонн.
Разность равна 116 − 110 = 6 тонн, поэтому это наименьшее положительное значение.
Ответ: 6.