На столе лежит монет по 2 рубля и монет по 5 рублей ( — натуральное число от 1 до 1199). Оказалось, что если взять любые 500 монет, то сумма денег, набранная этими монетами, будет не меньше четверти от общей суммы денег на столе.
а) Может ли равняться 400?
б) Может ли равняться 600?
в) Сколько различных значений может принимать число
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Общая сумма денег равна T = 2N + 5(1200 − N) = 6000 − 3N. Условие выполнено тогда и только тогда, когда наименьшая возможная сумма выбранных 500 монет не меньше T/4.
а) При N = 400 наименьшую сумму дают все 400 двухрублёвых монет и 100 пятирублёвых: 2 · 400 + 5 · 100 = 1300 рублей.
Общая сумма равна 4800 рублей, её четверть — 1200 рублей. Поскольку 1300 ≥ 1200, любые 500 монет удовлетворяют условию.
Ответ: да.
б) При N = 600 можно выбрать 500 двухрублёвых монет на сумму 1000 рублей. Общая сумма равна 4200 рублей, её четверть — 1050 рублей.
Неравенство 1000 < 1050 показывает, что условие нарушено.
Ответ: нет.
в) Если 1 ≤ N < 500, минимальная сумма получается при выборе всех N двухрублёвых монет и 500 − N пятирублёвых. Она равна 2N + 5(500 − N) = 2500 − 3N.
Условие равносильно неравенству 2500 − 3N ≥ (6000 − 3N)/4, то есть 10000 − 12N ≥ 6000 − 3N, или 9N ≤ 4000. Следовательно, подходят ровно целые N от 1 до 444.
Если 500 ≤ N ≤ 1199, минимальная сумма равна 1000 рублей: можно выбрать 500 двухрублёвых монет, а любая замена на пятирублёвую увеличивает сумму.
Поэтому условие равносильно неравенству 1000 ≥ (6000 − 3N)/4, то есть 3N ≥ 2000. Подходят ровно целые N от 667 до 1199.
В обоих случаях минимальная сумма достижима указанным выбором монет, поэтому полученные условия необходимы и достаточны. Число допустимых значений равно 444 + (1199 − 667 + 1) = 977.
Ответ: 977.