Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Сведение к квадратным уравнениям. Из y² = x² следует y = x или y = −x. Эти прямые имеют единственную общую точку (0; 0).
При y = x первое уравнение принимает вид 2x² − (6a + 4)x + 5a² + 8a + 3 = 0. Каждому его корню соответствует одно решение (x; x).
Его дискриминант D₁ = (6a + 4)² − 8(5a² + 8a + 3) = 4(2 − (a + 2)²).
При y = −x получаем 2x² − (2a + 4)x + 5a² + 8a + 3 = 0. Каждому корню соответствует решение (x; −x).
Дискриминант этого уравнения D₂ = (2a + 4)² − 8(5a² + 8a + 3) = 4(2 − (3a + 2)²).
б) Условия четырёх различных решений. Каждая прямая даёт не более двух решений. Поэтому ровно четыре решения получаются тогда и только тогда, когда D₁ > 0, D₂ > 0 и точка (0; 0) не является решением.
Условие D₁ > 0 равносильно −2 − √2 < a < −2 + √2; условие D₂ > 0 равносильно (−2 − √2)/3 < a < (−2 + √2)/3.
Пересечение этих промежутков: (−2 − √2)/3 < a < −2 + √2. На границах хотя бы один дискриминант равен нулю, а вне пересечения хотя бы одно уравнение имеет менее двух корней, поэтому четырёх решений нет.
Точка (0; 0) удовлетворяет системе тогда и только тогда, когда 5a² + 8a + 3 = (5a + 3)(a + 1) = 0, то есть a = −1 или a = −3/5. Оба значения входят в найденное пересечение; при каждом из них одна точка учитывается на обеих прямых, и различных решений только три.
Ответ: a ∈ ((−2−√2)/3; −1) ∪ (−1; −3/5) ∪ (−3/5; −2+√2).