На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9?
в) Пусть шестое по величине число, а среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Расположим числа по возрастанию: a₁ < a₂ < … < a₁₁. Обозначим a₆ = B. По условию a₁ + … + a₆ = 30, a₆ + … + a₁₁ = 90.
а) Если a₁ = 3, то шесть наименьших различных натуральных чисел не меньше соответственно 3, 4, 5, 6, 7, 8. Поэтому их сумма не меньше 33, что противоречит условию.
Ответ: нет.
б) При сложении двух данных сумм число B учитывается дважды. Поэтому сумма всех одиннадцати чисел равна 120 − B, а S = (120 − B)/11.
Если S = 9, то 120 − B = 99, откуда B = 21. Но сумма первых шести чисел равна 30, а первые пять различных натуральных чисел имеют сумму не меньше 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Следовательно, B ≤ 15. Получили противоречие.
Ответ: нет.
в) Поскольку числа натуральные и различные, пять чисел перед B не превосходят соответственно B − 5, B − 4, B − 3, B − 2, B − 1. Значит, 30 ≤ (B − 5) + … + (B − 1) + B = 6B − 15.
Отсюда B ≥ 45/6, а ввиду целочисленности B ≥ 8. Поэтому S − B = (120 − B)/11 − B = (120 − 12B)/11 ≤ 24/11.
Оценка достигается на числах 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 40. Все они различны, сумма шести наименьших равна 30, сумма шести наибольших равна 90. Здесь B = 8 и S − B = 112/11 − 8 = 24/11.
Ответ: 24/11.