Биссектрисы углов и равнобедренной трапеции пересекаются в точке На боковых сторонах и отмечены точки и соответственно так, что
а) Докажите, что точки и лежат на одной прямой.
б) Найдите отношение если и
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим ∠BAD = 2α. Так как трапеция равнобедренная, а её основания параллельны, ∠BCD = 180° − 2α. Следовательно, ∠MAO = α, ∠NCO = 90° − α.
В равнобедренном треугольнике AMO из AM = MO следует ∠AOM = ∠MAO = α. Поэтому ∠AMO = 180° − 2α.
Прямая через M, параллельная AD, образует с лучом MA именно такой угол. Следовательно, MO ∥ AD.
Аналогично в треугольнике CNO из CN = NO следует ∠CON = ∠NCO = 90° − α, поэтому ∠CNO = 2α.
Поскольку ∠CDA = 2α, получаем NO ∥ AD. Через O проходит единственная прямая, параллельная AD, поэтому M, O и N лежат на одной прямой.
Ответ: точки M, O и N лежат на одной прямой.
б) Пусть AD = 31k, BC = 17k. Опустим CH ⟂ AD. В равнобедренной трапеции DH = (AD − BC)/2 = 7k, AH = 24k. Обозначим CH = h, AO = CO = L.
Луч AO образует с AD угол α, а луч CO — угол 90° − α с направлением основания CB. Проекции отрезков AO и OC на направление AD в сумме дают AH, а их вертикальные проекции в сумме дают CH.
Следовательно, AH = L cos α + L sin α и h = L sin α + L cos α. Значит, h = AH = 24k.
По теореме Пифагора CD = √((7k)² + (24k)²) = 25k. Поэтому cos 2α = 7/25, sin 2α = 24/25.
По формуле двойного угла tg α = sin 2α/(1 + cos 2α) = (24/25)/(32/25) = 3/4.
Пусть y — расстояние от O до AD. Тогда y = L sin α, а h = L(sin α + cos α), откуда y/h = sin α/(sin α + cos α) = 3/7.
Так как MO ∥ AD, точка M находится на высоте y. По теореме о пропорциональных отрезках AM/AB = y/h = 3/7, поэтому MB/AB = 4/7.
Следовательно, AM/MB = 3/4.
Ответ: 3/4.