В треугольнике точки , и середины сторон , и соответственно, высота, , .
а) Докажите, что точки , , и лежат на одной окружности.
б) Найдите , если .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) По сумме углов треугольника ∠ABC = 180° − 120° − 15° = 45°. Углы B и C острые, поэтому основание высоты H лежит внутри BC.
В прямоугольном треугольнике ABH угол ABH равен 45°, следовательно, BH = AH. В треугольнике ACH угол ACH равен 15°, поэтому CH > AH = BH.
Так как A₁ — середина BC и CH > BH, точки на основании расположены в порядке B, H, A₁, C.
C₁ — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABH, поэтому HC₁ = BC₁. Треугольник BHC₁ равнобедренный, а ∠HBC₁ = 45°, следовательно, ∠BHC₁ = 45°.
Лучи HB и HA₁ противоположны, поэтому ∠C₁HA₁ = 135°.
По теореме о средней линии B₁A₁ ∥ AB и B₁C₁ ∥ BC. При этом лучи B₁A₁ и B₁C₁ направлены соответственно как AB и CB, поэтому ∠A₁B₁C₁ = ∠ABC = 45°.
В четырёхугольнике A₁B₁C₁H сумма противоположных углов при B₁ и H равна 45° + 135° = 180°. По признаку вписанного четырёхугольника точки A₁, B₁, C₁ и H лежат на одной окружности.
Ответ: а) утверждение доказано.
б) Обозначим AH = t. Как установлено выше, BH = t.
По формуле тангенса разности tan 15° = tan(45° − 30°) = (1 − 1/√3)/(1 + 1/√3) = 2 − √3.
Из прямоугольного треугольника ACH получаем CH = AH/tan 15° = t/(2 − √3) = (2 + √3)t.
Тогда BC = BH + CH = (3 + √3)t = 4√3, откуда t = 4√3/(3 + √3) = 2(√3 − 1).
Поскольку A₁ — середина BC и H лежит между B и A₁, имеем A₁H = BA₁ − BH = 2√3 − 2(√3 − 1) = 2.
Ответ: б) 2.