Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и замена переменной.
Знаменатели не равны нулю: 2ˣ ≠ 5 и 2ˣ ≠ 8. Следовательно, x ≠ log₂ 5 и x ≠ 3.
Положим t = 2ˣ. Тогда t > 0, t ≠ 5, t ≠ 8; при этом 4ˣ = t² и 3·2ˣ⁺¹ = 6t.
б) Равносильные преобразования.
Исходное неравенство принимает вид (t² − 6t + 4)/(t − 5) + (6t − 46)/(t − 8) ≤ t + 5.
Выделим целые части: (t² − 6t + 4)/(t − 5) = t − 1 − 1/(t − 5), а (6t − 46)/(t − 8) = 6 + 2/(t − 8).
После переноса правой части получаем равносильное неравенство −1/(t − 5) + 2/(t − 8) ≤ 0.
Приводя к общему знаменателю, получаем (t − 2)/((t − 5)(t − 8)) ≤ 0.
в) Метод интервалов и возврат к x.
Критические точки: 2, 5, 8. На интервалах (0; 2), (2; 5), (5; 8), (8; +∞) знаки выражения соответственно: −, +, −, +.
Точку 2 включаем как нуль числителя; точки 5 и 8 исключаем по ОДЗ. Значит, t ∈ (0; 2] ∪ (5; 8).
Поскольку функция 2ˣ возрастает, 0 < 2ˣ ≤ 2 ⇔ x ≤ 1, а 5 < 2ˣ < 8 ⇔ log₂ 5 < x < 3.
Ответ: (−∞; 1] ∪ (log₂ 5; 3).