Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и замена переменной.
Логарифм log₄ x определён при x > 0; тогда аргумент 64x⁶ также положителен.
Положим t = log₄ x. По свойствам логарифмов log₄(64x⁶) = 3 + 6t.
Знаменатели должны быть ненулевыми: t − 3 ≠ 0 и t² − 6t + 9 = (t − 3)² ≠ 0.
Итак, ОДЗ: x > 0, x ≠ 64; для новой переменной t ≠ 3.
б) Равносильные преобразования.
На ОДЗ исходное неравенство равносильно 1 + 5/(t − 3) + 6/(t − 3)² ≥ 0.
Приводим к общему знаменателю: ((t − 3)² + 5(t − 3) + 6)/(t − 3)² ≥ 0.
Раскрывая скобки и раскладывая числитель на множители, получаем t(t − 1)/(t − 3)² ≥ 0.
в) Метод интервалов и возврат к x.
Критические точки: 0, 1, 3. Знаменатель положителен при t ≠ 3, поэтому знак дроби определяется произведением t(t − 1).
На интервалах (−∞; 0), (0; 1), (1; 3), (3; +∞) знаки дроби соответственно +, −, +, +.
Точки 0 и 1 включаем, так как в них дробь равна нулю; точку 3 исключаем по ОДЗ.
Получаем t ∈ (−∞; 0] ∪ [1; 3) ∪ (3; +∞).
Функция x = 4ᵗ возрастает, поэтому x ∈ (0; 1] ∪ [4; 64) ∪ (64; +∞).
Ответ: (0; 1] ∪ [4; 64) ∪ (64; +∞).