Найдите все значения , при которых уравнение
имеет единственное решение на отрезке .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и преобразование уравнения.
Логарифм определён при x + a > 0; по условию также 0 ≤ x ≤ 1.
Перенесём правую часть влево и применим формулу разности квадратов:
(x + ln(x + a))² − (x − ln(x + a))² = 4x ln(x + a) = 0.
На ОДЗ это равносильно совокупности x = 0 или ln(x + a) = 0.
Во втором случае x + a = 1, то есть x = 1 − a.
б) Условия допустимости корней.
Корень x = 0 принадлежит отрезку [0; 1] и удовлетворяет ОДЗ тогда и только тогда, когда a > 0.
Корень x = 1 − a всегда удовлетворяет ОДЗ, поскольку x + a = 1. Он принадлежит [0; 1] тогда и только тогда, когда 0 ≤ a ≤ 1.
Эти корни совпадают только при a = 1.
в) Разбор всех значений параметра.
При a < 0 решений на отрезке нет.
При a = 0 есть единственное решение x = 1.
При 0 < a < 1 есть два различных решения: 0 и 1 − a.
При a = 1 оба найденных корня совпадают: x = 0, поэтому решение единственное.
При a > 1 подходит только x = 0, поэтому решение также единственное.
Ответ: a ∈ {0} ∪ [1; +∞).