Найдите все значения при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Разложение на множители.
Перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем их:
(x + 1)(ax³ − 2x² + (a³ − a)x − 2a² + 2) = 0.
Вынося общий множитель по группам, получаем равносильное уравнение:
(x + 1)(ax − 2)(x² + a² − 1) = 0.
Следовательно, корни исходного уравнения образуют объединение корней этих трёх множителей.
б) Разбор значений параметра.
При a = 0 уравнение принимает вид −2(x + 1)(x² − 1) = 0. Оно имеет ровно два различных корня: −1 и 1.
При |a| > 1 множитель x² + a² − 1 положителен при любом x. Остаются корни −1 и 2/a.
Они совпадают только при 2/a = −1, то есть при a = −2. Поэтому подходят все |a| > 1, кроме a = −2.
При a = 1 или a = −1 третий множитель равен x². Получаем три различных корня: −1, 0 и 2/a. Эти значения параметра не подходят.
При 0 < |a| < 1 получаем корни −1, 2/a, √(1 − a²), −√(1 − a²).
Последние два корня различны и лежат внутри интервала (−1; 1), а |2/a| > 2. Следовательно, все четыре корня различны; эти значения параметра не подходят.
Все действительные значения параметра рассмотрены.
Ответ: a ∈ (−∞; −2) ∪ (−2; −1) ∪ {0} ∪ (1; +∞).