Найдите все значения при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Система не меняется при замене x на −x, поэтому каждому решению (x; y) с x ≠ 0 соответствует другое решение (−x; y).
Следовательно, единственное решение возможно только при x = 0. Тогда из второго уравнения y² = 1, то есть y = 1 или y = −1.
Первое уравнение при x = 0 принимает вид 9 = 8y + a. Получаем два возможных значения параметра: a = 1 или a = 17.
б) Проверим a = 1. Обозначим t = |x|. Из x² + y² = 1 следует 0 ≤ t ≤ 1 и y ≤ 1.
Первое уравнение равносильно равенству 8(2ᵗ − y) + 7t(1 − t) = 0.
При t > 0 имеем 2ᵗ > 1 ≥ y, а t(1 − t) ≥ 0. Поэтому левая часть строго положительна и равенство невозможно.
Значит, t = 0, откуда x = 0 и y = 1. Пара (0; 1) удовлетворяет обоим уравнениям, поэтому решение единственное.
в) При a = 17 система имеет два различных решения (1; 0) и (−1; 0): в первом уравнении обе части равны 24, во втором — 1.
Другие значения параметра исключены в пункте а). Ответ: a = 1.