Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и равносильное преобразование.
Аргументы логарифмов должны быть положительными: 8x > 0 и 27x > 0, поэтому x > 0.
При x > 0 имеем |x| = x, а знаменатель равен x² − x = x(x − 1).
Следовательно, ОДЗ: x > 0, x ≠ 1.
На ОДЗ исходное неравенство равносильно (log₂(8x) · log₃(27x))/(x(x − 1)) ≤ 0.
б) Метод интервалов.
Так как основания 2 и 3 больше 1, знак каждого логарифма совпадает со знаком его аргумента минус 1.
log₂(8x) = 0 при x = 1/8; слева от этой точки логарифм отрицателен, справа положителен.
log₃(27x) = 0 при x = 1/27; слева от этой точки логарифм отрицателен, справа положителен.
Знаменатель x(x − 1) отрицателен при 0 < x < 1 и положителен при x > 1.
Критические точки расположены в порядке: 0 < 1/27 < 1/8 < 1.
На интервалах (0; 1/27), (1/27; 1/8), (1/8; 1), (1; +∞) знаки дроби соответственно: −, +, −, +.
в) Граничные точки и ответ.
Точки 1/27 и 1/8 включаем: числитель равен нулю, знаменатель отличен от нуля, а неравенство нестрогое.
Точки 0 и 1 исключаем по ОДЗ.
Ответ: (0; 1/27] ∪ [1/8; 1).