В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем
в предыдущий день.
а) Может ли быть больше 6?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Обозначим количество чисел в день i через cᵢ, а их сумму через sᵢ. Поскольку разрешены числа от 1 до 5, выполняется cᵢ ≤ sᵢ ≤ 5cᵢ.
При фиксированном количестве c можно получить любую целую сумму от c до 5c: начнём с c единиц и будем увеличивать отдельные числа на 1, не превышая 5.
а) Приведём пример для 11 дней. В первый день запишем 101 единицу, так что c₁ = s₁ = 101.
В следующие десять дней, для k от 0 до 9, запишем по 100 − k чисел с суммой 441 + k.
Такие наборы существуют: 100 − k ≤ 441 + k, а 441 + k ≤ 5(100 − k), поскольку 6k ≤ 54 < 59.
Количество чисел последовательно уменьшается: 101, 100, …, 91; суммы увеличиваются: 101, 441, …, 450. Все условия выполнены, причём 11 > 6.
Ответ: да.
б) Используем тот же пример. Среднее арифметическое в первый день равно 1 < 2.
Общее количество чисел равно 101 + (100 + 91) · 10/2 = 1056.
Общая сумма равна 101 + (441 + 450) · 10/2 = 4556. Поскольку 4556 > 4 · 1056 = 4224, среднее арифметическое всех чисел больше 4.
Ответ: да.
в) Теперь s₁ = 5, поэтому c₁ ≤ 5. Количество чисел ежедневно уменьшается хотя бы на 1, следовательно, n ≤ 5 и cₙ ≤ 6 − n.
При n = 5 получаем c₅ ≤ 1 и s₅ ≤ 5, что противоречит строгому увеличению сумм после первого дня. Поэтому n ≤ 4.
При n = 1 общая сумма равна 5. При n = 2 имеем c₂ ≤ 4, поэтому s₂ ≤ 20 и общая сумма не превосходит 25.
При n = 3 имеем c₃ ≤ 3, поэтому s₃ ≤ 15. Так как суммы целые и s₂ < s₃, получаем s₂ ≤ 14. Общая сумма не превосходит 5 + 14 + 15 = 34.
При n = 4 имеем c₄ ≤ 2, поэтому s₄ ≤ 10, s₃ ≤ 9 и s₂ ≤ 8. Общая сумма не превосходит 5 + 8 + 9 + 10 = 32.
Сумма 34 достигается за три дня: в первый день записаны 1, 1, 1, 1, 1; во второй — 5, 5, 3, 1; в третий — 5, 5, 5. Количества равны 5, 4, 3, а суммы — 5, 14, 15.
Ответ: 34.