На доске записано некоторое количество последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять делятся на 20.
а) Могло ли среди записанных чисел быть больше пяти чисел, делящихся
на 21?
б) Могло ли среди записанных чисел быть меньше пяти чисел, делящихся
на 15?
в) Найдите наибольшее возможное число такое, что среди записанных чисел больше пяти чисел делятся на
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Рассмотрим все натуральные числа от 21 до 126 включительно.
Среди них ровно пять чисел делятся на 20: 40, 60, 80, 100, 120.
На 21 делятся шесть чисел: 21, 42, 63, 84, 105, 126. Значит, требуемая ситуация возможна. Ответ: да.
б) Между первым и пятым записанными числами, кратными 20, разность равна 4 · 20 = 80: все промежуточные кратные также записаны.
Следовательно, на доске записано не меньше 81 последовательного натурального числа.
В любых 15 последовательных натуральных числах ровно одно делится на 15. Поэтому в любых 75 последовательных числах ровно пять чисел делятся на 15: достаточно разбить их на пять групп по 15 чисел.
Записанный набор содержит такую группу из 75 чисел, поэтому кратных 15 среди него не меньше пяти. Ответ: нет.
в) Пусть первое записанное число, кратное 20, равно m. Тогда пятое равно m + 80.
Число m − 20 не записано, поэтому начало набора не меньше m − 19. Число m + 100 также не записано, поэтому конец набора не больше m + 99.
Таким образом, разность между последним и первым записанными числами не превосходит 118.
Если среди записанных чисел есть хотя бы шесть кратных натуральному числу k, то разность между первым и шестым из них не меньше 5k. Поэтому 5k ≤ 118, откуда k ≤ 23.
Покажем, что k = 23 достижимо. Запишем все числа от 23 до 138 включительно.
На 20 делятся ровно пять из них: 40, 60, 80, 100, 120. На 23 делятся шесть: 23, 46, 69, 92, 115, 138.
Оценка достигнута, поэтому наибольшее возможное k равно 23. Ответ: 23.