Решите неравенство
.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и разложение на множители.
Показательные выражения определены при всех действительных x. Знаменатель −x² + 2x = x(2 − x) не должен равняться нулю. ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ 2.
Числитель разложим группировкой: 15ˣ − 3·3ˣ − 5·5ˣ + 15 = 3ˣ(5ˣ − 3) − 5(5ˣ − 3) = (3ˣ − 5)(5ˣ − 3).
На ОДЗ исходное неравенство равносильно (3ˣ − 5)(5ˣ − 3)/(x(2 − x)) ≥ 0.
Нули числителя: x = log₅ 3 и x = log₃ 5. Ответ пункта а): требуется решить полученное неравенство при x ≠ 0, 2.
б) Метод интервалов и граничные точки.
Обозначим a = log₅ 3, b = log₃ 5. Из 1 < 3 < 5 следует 0 < a < 1; из 3 < 5 < 9 следует 1 < b < 2. Значит, 0 < a < b < 2.
Поскольку основания 3 и 5 больше единицы, множитель 3ˣ − 5 отрицателен при x < b и положителен при x > b; множитель 5ˣ − 3 отрицателен при x < a и положителен при x > a.
Знаменатель x(2 − x) положителен на (0; 2) и отрицателен на (−∞; 0) и (2; +∞).
По методу интервалов знаки дроби на промежутках (−∞; 0), (0; a), (a; b), (b; 2), (2; +∞) соответственно: −, +, −, +, −.
Точки a и b включаем: числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Точки 0 и 2 исключаем по ОДЗ.
Ответ: (0; log₅ 3] ∪ [log₃ 5; 2).