Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными: 6 − x > 0 и x² − 12x + 36 > 0.
Поскольку x² − 12x + 36 = (6 − x)², получаем ОДЗ: x < 6.
б) Равносильные преобразования. На ОДЗ по формулам перехода к новому основанию и логарифма степени имеем:
log₆₂₅(6 − x) = log₅(6 − x)/4; log₅((6 − x)²) = 2log₅(6 − x).
Поэтому исходное неравенство равносильно x²log₅(6 − x) ≤ 8log₅(6 − x), то есть (x² − 8)log₅(6 − x) ≤ 0.
в) Метод интервалов. Нули множителей: x = −2√2, x = 2√2 и x = 5. Все они принадлежат ОДЗ.
Множитель x² − 8 отрицателен между −2√2 и 2√2, положителен вне этого промежутка. Так как основание 5 > 1, логарифм положителен при x < 5 и отрицателен при 5 < x < 6.
Знаки произведения на интервалах (−∞; −2√2), (−2√2; 2√2), (2√2; 5), (5; 6) соответственно: +, −, +, −.
Все три нуля включаем, поскольку неравенство нестрогое. Точку 6 исключаем по ОДЗ.
Ответ: [−2√2; 2√2] ∪ [5; 6).