Задание 19 ЕГЭ по профильной математике № 5F6c59

а) Разложим левую часть на множители. Заметим, что x⁴ + 2x³ − 2x − 1 = (x + 1)³(x − 1).

Исходное уравнение равносильно (x + 1)[a² + x(x + 1)a + (x + 1)²(x − 1)] = 0.

Поскольку (x + 1) + (x² − 1) = x(x + 1), выражение в скобках раскладывается на множители: (a + x + 1)(a + x² − 1).

Следовательно, (x + 1)(a + x + 1)(a + x² − 1) = 0.

Ответ пункта а): все корни задаются равенствами x = −1, x = −a − 1 и x² = 1 − a.

б) Исследуем число различных корней. Если a > 1, уравнение x² = 1 − a не имеет действительных корней. Корни −1 и −a − 1 различны, поэтому корней ровно два.

Если a = 1, получаем три различных корня: −2, −1, 0.

Пусть a < 1. Тогда квадратное уравнение даёт два различных корня: √(1 − a) и −√(1 − a).

Корни −1 и −a − 1 совпадают только при a = 0. Число −1 является корнем x² = 1 − a также только при a = 0.

Число −a − 1 является корнем квадратного уравнения тогда и только тогда, когда (−a − 1)² = 1 − a. Это равносильно a² + 3a = 0, откуда a = 0 или a = −3.

При a = 0 множество корней равно {−1; 1}, поэтому различных корней ровно два.

При a = −3 множество корней равно {−2; −1; 2}, поэтому различных корней три.

При остальных a < 1 перечисленные четыре корня попарно различны: все возможные совпадения уже рассмотрены.

Ответ: a ∈ {0} ∪ (1; +∞).