Найдите все значения при каждом из которых уравнение
имеет на отрезке ровно один корень.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и возможные корни.
На заданном отрезке необходимо выполнение условий 4/7 ≤ x ≤ 4 и (x − 4)² + 1 − a² > 0.
На ОДЗ произведение равно нулю тогда и только тогда, когда x = 4/7 или ln((x − 4)² + 1 − a²) = 0.
Обозначим b = |a| ≥ 0. Точка x = 4/7 является корнем при 625/49 − b² > 0, то есть при b < 25/7.
Логарифм равен нулю тогда и только тогда, когда его аргумент равен 1: (x − 4)² = b². Получаем x = 4 − b или x = 4 + b; условие положительности аргумента для этих точек выполнено.
б) Отбор корней и разбор параметра.
При b = 0 обе формулы дают одну точку x = 4. Вместе с x = 4/7 получаем два различных корня.
При b > 0 точка x = 4 + b лежит вне заданного отрезка.
Точка x = 4 − b удовлетворяет условию 4/7 ≤ x ≤ 4 тогда и только тогда, когда 0 ≤ b ≤ 24/7.
При 0 < b < 24/7 имеются два различных корня: 4/7 и 4 − b.
При b = 24/7 эти корни совпадают, поэтому имеется ровно один корень.
При 24/7 < b < 25/7 имеется только корень x = 4/7.
При b ≥ 25/7 точка x = 4/7 не удовлетворяет ОДЗ, а корней логарифмического множителя на нужном отрезке нет. Следовательно, корней нет.
в) Возвращение к параметру a.
Ровно один корень получается при 24/7 ≤ |a| < 25/7.
Ответ: a ∈ (−25/7; −24/7] ∪ [24/7; 25/7).